Unternehmen sammeln ständig Daten.
- Umsätze
- Bearbeitungszeiten
- Fehlzeiten
- Reklamationen
- Kundenzufriedenheit
- Produktionsmengen
- Prüfungsergebnisse
Die bloße Sammlung dieser Werte reicht aber noch nicht aus.
Erst durch ihre Aufbereitung, Auswertung und Interpretation werden aus Daten verwertbare Informationen.
Genau damit beschäftigt sich die Statistik.
Daten erheben → Daten aufbereiten → Kennzahlen berechnen → darstellen → interpretieren → Schlussfolgerungen ziehen
Was ist Statistik?
Statistik beschäftigt sich mit der systematischen Erhebung, Aufbereitung, Darstellung, Analyse und Interpretation von Daten.
- große Datenmengen übersichtlich zusammenfassen
- typische Werte bestimmen
- Streuungen erkennen
- Gruppen miteinander vergleichen
- Entwicklungen sichtbar machen
- aus Stichproben Rückschlüsse auf größere Grundgesamtheiten vorbereiten
Statistik macht aus Daten Informationen.
Beispiel: Bearbeitungszeiten auswerten
Ein Unternehmen untersucht fünf Bearbeitungszeiten:
2, 3, 3, 4 und 8 Tage
Mit diesen fünf Werten lassen sich mehrere grundlegende statistische Kennzahlen erklären.
- Mittelwert
- Median
- Modalwert
- Minimum
- Maximum
- Spannweite
Das Beispiel zeigt gleichzeitig, warum eine einzelne Kennzahl nicht immer ausreicht, um eine Datenreihe sinnvoll zu beschreiben.
Deskriptive und schließende Statistik
Für die Grundlagen ist besonders die Unterscheidung zwischen deskriptiver Statistik und schließender beziehungsweise induktiver Statistik wichtig.
Deskriptive Statistik
Die deskriptive Statistik wird auch beschreibende Statistik genannt.
Sie beschreibt und verdichtet vorliegende Daten.
- durchschnittliche Bearbeitungszeit berechnen
- häufigsten Wert bestimmen
- Streuung untersuchen
- Häufigkeiten darstellen
- Diagramme erstellen
Beispiel: Ein Unternehmen wertet sämtliche 2.000 Reklamationen eines Jahres aus und berechnet daraus Bearbeitungszeiten und Häufigkeiten.
Deskriptive Statistik → vorhandene Daten beschreiben
Schließende Statistik
Bei der schließenden Statistik werden Daten einer Stichprobe verwendet, um Aussagen über eine größere Grundgesamtheit abzuleiten.
Sie wird auch als induktive Statistik oder Inferenzstatistik bezeichnet.
Beispiel: Ein Unternehmen besitzt 50.000 Kunden. Statt alle zu befragen, werden 1.000 Kunden ausgewählt.
50.000 Kunden → Grundgesamtheit
1.000 befragte Kunden → Stichprobe
Schließende Statistik → von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen
Grundgesamtheit, Stichprobe und Vollerhebung
Grundgesamtheit: alle Einheiten, über die eine Aussage getroffen werden soll.
Stichprobe: eine ausgewählte Teilmenge der Grundgesamtheit.
Beispiel: Von 5.000 produzierten Teilen werden 200 geprüft.
5.000 Teile → Grundgesamtheit
200 geprüfte Teile → Stichprobe
Vollerhebung: Alle Elemente der Grundgesamtheit werden untersucht.
Eine geeignete Stichprobe reicht nicht allein
Eine Stichprobe sollte die Grundgesamtheit möglichst sinnvoll widerspiegeln. Das allein garantiert aber noch keine vollkommen sichere Verallgemeinerung.
- Auswahlverfahren
- Stichprobenumfang
- Zusammensetzung der Stichprobe
- mögliche Verzerrungen
- statistische Unsicherheit
Beispiel: Ein Unternehmen möchte die Zufriedenheit aller Kunden beurteilen, befragt aber ausschließlich besonders aktive Stammkunden.
Dann kann die Stichprobe systematisch verzerrt sein.
Merkmale und Datenarten
Statistische Untersuchungen betrachten bestimmte Merkmale.
Der konkrete Wert eines Merkmals heißt Merkmalsausprägung.
Beispiel: Merkmal Alter, Merkmalsausprägung 42 Jahre.
Qualitative Merkmale beschreiben Eigenschaften oder Kategorien, beispielsweise Abteilung, Produktart oder Zahlungsart.
Quantitative Merkmale werden durch Zahlenwerte beschrieben, beispielsweise Umsatz, Alter, Stückzahl oder Bearbeitungszeit.
qualitativ → Kategorie
quantitativ → Zahlenwert
Skalenniveaus in Kurzform
Nominalskala: Kategorien ohne natürliche Rangfolge, zum Beispiel Zahlungsart oder Produktgruppe.
Ordinalskala: Kategorien mit Rangfolge, zum Beispiel sehr unzufrieden bis sehr zufrieden.
Metrische Daten: Zahlenwerte mit interpretierbaren Abständen, zum Beispiel Umsatz, Bearbeitungszeit oder Gewicht.
Für Prüfungsaufgaben sollte deshalb immer zuerst gefragt werden: Welche Art von Daten liegt vor?
Absolute und relative Häufigkeit
Absolute Häufigkeit: Wie oft tritt ein Wert oder eine Kategorie auf?
Beispiel: Von 100 Kunden wählen 20 Produkt A. Absolute Häufigkeit: 20.
Relative Häufigkeit: Welchen Anteil besitzt diese Gruppe?
20 / 100 = 0,20 = 20 %
absolute Häufigkeit → Anzahl
relative Häufigkeit → Anteil
Beispiel einer Häufigkeitstabelle
| Kontaktweg | Anzahl | Anteil |
|---|---|---|
| Telefon | 25 | 25 % |
| 45 | 45 % | |
| Chat | 20 | 20 % |
| Sonstige | 10 | 10 % |
| Gesamt | 100 | 100 % |
Lage- und Streuungsmaße
| Lagekennzahlen | Streuungsmaße |
|---|---|
| Arithmetisches Mittel | Spannweite |
| Median | Varianz |
| Modalwert | Standardabweichung |
Lage → Wo liegen die Werte?
Streuung → Wie weit liegen die Werte auseinander?
Das arithmetische Mittel
arithmetisches Mittel = Summe aller Werte / Anzahl der Werte
Bearbeitungszeiten: 2, 3, 3, 4, 8
Summe = 20, Anzahl = 5.
20 / 5 = 4 Tage
Der Median
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe.
Bei 2, 3, 3, 4, 8 lautet der Median 3.
Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen wird üblicherweise der Mittelwert der beiden mittleren Werte gebildet.
Beispiel: 2, 4, 6, 8 → (4 + 6) / 2 = 5
Der Modalwert
Der Modalwert ist der am häufigsten auftretende Wert.
In der Reihe 2, 3, 3, 4, 8 ist der Modalwert 3.
Mittelwert, Median und Modalwert vergleichen
| Kennzahl | Aussage | Beispiel |
|---|---|---|
| Mittelwert | rechnerischer Durchschnitt | 4 |
| Median | mittlerer Wert | 3 |
| Modalwert | häufigster Wert | 3 |
Der Wert 8 zieht den Mittelwert nach oben. Der Median reagiert auf diesen einzelnen höheren Wert deutlich weniger.
Ein Durchschnitt allein beschreibt eine Datenverteilung nicht immer ausreichend.
Minimum, Maximum und Spannweite
In der Datenreihe 2, 3, 3, 4, 8 gilt:
Minimum = 2
Maximum = 8
Spannweite = Maximum – Minimum = 8 – 2 = 6
Warum reicht der Mittelwert nicht?
| Team A | Team B |
|---|---|
| 4 | 1 |
| 4 | 2 |
| 4 | 4 |
| 4 | 6 |
| 4 | 7 |
Beide Teams besitzen denselben Mittelwert: 4.
Bei Team A liegen alle Werte exakt bei 4. Bei Team B liegen sie deutlich weiter auseinander.
gleicher Mittelwert ≠ gleiche Verteilung
Was zeigt die Standardabweichung?
Die Standardabweichung beschreibt vereinfacht, wie stark die Werte um ihren Mittelwert streuen.
Team A: 4, 4, 4, 4, 4 → keine beziehungsweise extrem geringe Streuung.
Team B: 1, 2, 4, 6, 7 → deutlich größere Streuung.
kleine Standardabweichung → Werte liegen relativ dicht beieinander
große Standardabweichung → Werte streuen stärker
Auch die Varianz ist ein Streuungsmaß. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.
Welche Diagramme eignen sich?
Die Wahl einer Darstellung hängt von Datenart und Fragestellung ab.
Balken- oder Säulendiagramm: Vergleich einzelner Kategorien.
Kreisdiagramm: Anteile an einem Ganzen, besonders bei wenigen Kategorien.
Liniendiagramm: zeitliche Entwicklungen.
Was ist ein Histogramm?
Ein Histogramm eignet sich insbesondere zur Darstellung der Verteilung quantitativer Daten in Klassen.
Beispiel Bearbeitungszeit: 0 bis unter 2 Tage, 2 bis unter 4 Tage, 4 bis unter 6 Tage, 6 bis unter 8 Tage.
Säulendiagramm → Kategorien
Histogramm → quantitative Verteilung in Klassen
Sind die Klassen gleich breit, kann die Balkenhöhe unmittelbar die Häufigkeit widerspiegeln. Sind die Klassen unterschiedlich breit, ist die Fläche des Balkens entscheidend; die Höhe entspricht dann einer Häufigkeitsdichte.
Bei unterschiedlichen Klassenbreiten zählt beim Histogramm die Fläche, nicht allein die Höhe.
Boxplot
Ein Boxplot kann eine Verteilung kompakt darstellen und unter anderem Informationen zu Median, Quartilen, Streuung und auffälligen Werten zeigen.
Statistische Werte müssen interpretiert werden
Eine Kennzahl ist kein Selbstzweck.
Beispiel: Die durchschnittliche Bearbeitungszeit fällt von 6 auf 4 Tage.
- Wie stark streuen die Werte?
- Gibt es weiterhin extreme Wartezeiten?
- Sind beide Zeiträume vergleichbar?
- Hat sich die Datengrundlage verändert?
Statistische Kennzahlen liefern Informationen, aber nicht automatisch Erklärungen.
Korrelation ist nicht Kausalität
Wenn zwei Größen gemeinsam auftreten oder sich gemeinsam verändern, bedeutet dies noch nicht automatisch: A verursacht B.
Beispiel: Mit steigender Außentemperatur steigen sowohl Eisverkäufe als auch Sonnenbrillenverkäufe.
Daraus folgt nicht, dass mehr Eisverkauf mehr Sonnenbrillenverkauf verursacht.
Korrelation ≠ Kausalität
Prozent und Prozentpunkte unterscheiden
Eine Quote steigt von 20 % auf 25 %.
Das sind +5 Prozentpunkte.
Relativ betrachtet steigt der Wert aber um 25 %, denn 5 / 20 = 0,25.
Ausreißer und Datenqualität
Ein außergewöhnlicher Wert kann Kennzahlen deutlich beeinflussen. Unser Beispiel 2, 3, 3, 4, 8 zeigt dies bereits.
- Ist der Wert korrekt?
- Gibt es eine sachliche Erklärung?
- Wie beeinflusst er die Kennzahlen?
Ein Ausreißer darf nicht einfach entfernt werden, nur weil er nicht ins gewünschte Ergebnis passt.
Typische Datenprobleme sind fehlende Werte, fehlerhafte Erfassung, nicht vergleichbare Zeiträume, uneinheitliche Definitionen und ungeeignete Stichproben.
Schlechte Daten + korrekte Rechnung = trotzdem schlechte Statistik
Vorsicht bei Diagrammen
Auch eine rechnerisch korrekte Darstellung kann optisch irreführend wirken.
Beispiel: Eine Y-Achse beginnt erst bei 95 statt bei 0. Der Unterschied zwischen 98 und 100 kann dadurch optisch sehr groß wirken.
Wo wird Statistik im Unternehmen eingesetzt?
- Controlling: Umsatzentwicklung, Kosten, Kennzahlen
- Personal: Fehlzeiten, Fluktuation, Altersstruktur, Personalbedarf
- Produktion und Qualität: Ausschussquoten, Fehlerhäufigkeiten, Prozesszeiten
- Vertrieb und Marketing: Absatz, Marktanteile, Kundenzufriedenheit
- Projektmanagement: Durchlaufzeiten, Plan-Ist-Abweichungen, Risikodaten
Verbindung zur Personalbedarfsermittlung
Bei der Personalbedarfsermittlung können historische Daten genutzt werden, um Entwicklungen zu erkennen, Kennzahlen zu vergleichen und Zusammenhänge zu untersuchen.
Dort können später Verfahren wie Zeitreihenanalyse, Korrelation und Regression eine Rolle spielen.
Mehr dazu findest du in Wie erfolgt die Personalbedarfsermittlung?.
Typische Fehler in der Statistik
- Statistik auf Diagramme reduzieren.
- Mittelwert grundsätzlich für die beste Kennzahl halten.
- Mittelwert und Median verwechseln.
- Histogramme für ungeeignete Daten verwenden.
- Stichprobenergebnisse unkritisch verallgemeinern.
- Ausreißer ohne sachliche Begründung entfernen.
- Prozent und Prozentpunkte verwechseln.
- Zusammenhang mit Ursache gleichsetzen.
Prüfungsfälle
Mittelwert: 4, 5, 6 → (4 + 5 + 6) / 3 = 5.
Median: 2, 3, 9 → Median = 3.
Gerade Anzahl: 2, 4, 6, 8 → Median = (4 + 6) / 2 = 5.
Spannweite: Minimum 12, Maximum 27 → Spannweite = 15.
Relative Häufigkeit: 50 von 200 → 25 %.
Stichprobe: 10.000 Kunden, 500 werden befragt → Grundgesamtheit 10.000, Stichprobe 500.
Korrelation: Zwei Größen verändern sich gleichzeitig → daraus folgt noch nicht automatisch Ursache und Wirkung.
Prüfungsschema Statistik
- Welche Fragestellung soll beantwortet werden?
- Welche Grundgesamtheit wird betrachtet?
- Vollerhebung oder Stichprobe?
- Wie wurde die Stichprobe ausgewählt?
- Welches Merkmal wird untersucht?
- Qualitativ oder quantitativ?
- Welches Skalenniveau liegt vor?
- Welche Häufigkeiten sind relevant?
- Welche Lagekennzahl ist sinnvoll?
- Welche Streuung liegt vor?
- Welche Darstellung passt?
- Gibt es Ausreißer oder Datenprobleme?
- Was darf aus den Ergebnissen tatsächlich geschlossen werden?
Kurzschema für die Prüfung
Fragestellung → Daten → Grundgesamtheit/Stichprobe → Merkmal → Häufigkeiten → Lage → Streuung → Darstellung → Interpretation
Merksätze für die Prüfung
deskriptiv → vorhandene Daten beschreiben
schließend → von Stichprobe auf Grundgesamtheit schließen
absolute Häufigkeit → Anzahl
relative Häufigkeit → Anteil
Mittelwert → Durchschnitt
Median → Mitte
Modalwert → häufigster Wert
Spannweite → Maximum – Minimum
Standardabweichung → Streuung um den Mittelwert
Korrelation ≠ Kausalität
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Besonders passend sind Wie erfolgt die Personalbedarfsermittlung? und die zentrale Seite Prüfungswissen.
Der Artikel bildet außerdem eine Grundlage für spätere Vertiefungen zu Standardabweichung und Varianz, Quartilen und Boxplots, Korrelationsanalyse, Regressionsanalyse und Zeitreihenanalyse.
Häufige Fragen zur Statistik
Was versteht man unter Statistik?
Statistik beschäftigt sich mit der Erhebung, Aufbereitung, Darstellung, Analyse und Interpretation von Daten.
Was ist deskriptive Statistik?
Sie beschreibt und verdichtet vorhandene Daten.
Was ist schließende Statistik?
Sie nutzt Stichprobendaten, um Aussagen über eine größere Grundgesamtheit abzuleiten.
Was ist der Unterschied zwischen Mittelwert und Median?
Der Mittelwert ist der rechnerische Durchschnitt. Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe.
Was ist der Modalwert?
Der am häufigsten auftretende Wert.
Was ist die Spannweite?
Maximum – Minimum
Was zeigt die Standardabweichung?
Wie stark Werte um ihren Mittelwert streuen.
Was ist ein Histogramm?
Eine Darstellung der Verteilung quantitativer Daten in Klassen. Bei unterschiedlich breiten Klassen ist die Fläche der Balken entscheidend.
Garantiert eine gute Stichprobe eine exakte Aussage?
Nein. Auch Stichprobenumfang, Auswahlverfahren und statistische Unsicherheit beeinflussen die Aussagekraft.
Bedeutet Korrelation automatisch Kausalität?
Nein. Korrelation ≠ Kausalität
Fazit
Statistik ist weit mehr als Durchschnitt berechnen und Diagramme zeichnen.
Daten erheben → aufbereiten → beschreiben → vergleichen → darstellen → interpretieren
deskriptive Statistik → vorhandene Daten beschreiben
schließende Statistik → aus einer Stichprobe Rückschlüsse auf eine Grundgesamtheit ziehen
Lagekennzahlen → Mittelwert, Median, Modalwert
Streuungsmaße → Spannweite, Varianz, Standardabweichung
Eine statistische Kennzahl ist nur so gut wie ihre Datengrundlage und ihre sachgerechte Interpretation.